猴仔射气球(小猴子戳气球)

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“猴仔射气球”或“小猴子戳气球”是一个经典的算法问题，通常称为“戳气球”（Burst Balloons）问题。它源自计算机科学中的动态规划（Dynamic Programming）领域，常用于算法竞赛和面试题（如 LeetCode 312题）。问题描述如下：

问题描述

示例：

1. 戳破1（得分为 3×1×5 = 15），数组变为 [3, 5, 8]

2. 戳破5（得分为 3×5×8 = 120），数组变为 [3, 8]

3. 戳破8（得分为 3×8×1 = 24），数组变为

4. 戳破3（得分为 1×3×1 = 3），数组为空

问题分析

Python 代码实现

以下是完整的 Python 解决方案（已注释）：

python

def maxCoins(nums):

处理空输入

if not nums:

return 0

n = len(nums)

添加虚拟气球：points[0] = 1, points[-1] = 1

points = [1] + nums + [1]

m = len(points) 总长度（包括虚拟气球）

初始化 DP 表：dp[i][j] 表示戳破 (i, j) 区间内气球的最大得分（不包括 i 和 j）

dp = [[0] m for _ in range(m)]

按区间长度从小到大迭代（长度从 2 开始，因为 j-i>=2 才有气球）

for length in range(2, m): length = j

for i in range(0, m

j = i + length 结束索引 j

遍历 k：k 是 (i, j) 中最后一个被戳破的气球

for k in range(i + 1, j):

戳破 k 的得分 = points[i] points[k] points[j]

加上左区间 (i, k) 得分 dp[i][k] 和右区间 (k, j) 得分 dp[k][j]

current_score = points[i] points[k] points[j] + dp[i][k] + dp[k][j]

更新 dp[i][j]

if current_score > dp[i][j]:

dp[i][j] = current_score

返回戳破所有气球的得分：区间 (0, m-1)

return dp[0][m

测试示例

nums = [3, 1, 5, 8]

print(maxCoins(nums)) 输出: 167

代码解释

1. 输入处理：如果输入数组 `nums` 为空，直接返回 0。

2. 添加虚拟气球：创建一个新数组 `points`，在 `nums` 前后各加一个值为 1 的元素（处理边界）。

3. DP 表初始化：`dp` 是一个二维列表，初始化为 0。`dp[i][j]` 表示从索引 `i` 到 `j`（不包括 `i` 和 `j`）的区间最大得分。

4. 区间长度迭代：

5. 状态转移：计算当前 `k` 的得分，并更新 `dp[i][j]`。

6. 返回结果：`dp[m-1]` 是整个数组的最大得分，其中 `m = n + 2`。

测试和优化

“猴仔射气球”问题是一个有趣的动态规划练习，核心在于逆向思考（从最后一个戳破的气球入手）和区间划分。通过添加虚拟边界和 DP 表，能高效求解。如果您有具体输入数组或想深入讨论代码细节，请提供更多信息！